בגרות 482 חורף 2025 – שאלה 3חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 29

בגרות 482 · חורף 2025 · שאלה 3

שיעור 29 – בגרות 482 חורף 2025 – שאלה 3

פרק 3 – 10 בגרויות 482: חקירת פונקציה טריגונומטרית (שאלה 3)

1נוסח השאלה

2סעיף א – נקודות קיצון

3סעיף ב – מציאת a

4סעיף ג – סקיצה

5סעיף ד – שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3cos(2x) − a , a הוא פרמטר.

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא −π ≤ x ≤ π .

א. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן. אם יש צורך, הביעו באמצעות a .

נתון כי כל נקודות המינימום של הפונקציה f(x) נמצאות על הישר y = a − 11 .

ב. מצאו את הערך של a .

📄 נוסח השאלה · המשך

הציבו a = 4 , וענו על הסעיפים ג–ד.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי הישר y = a − 11 .

סעיף א – נקודות קיצון

הנגזרת – גוזרים כל איבר בנפרד:

[3cos(2x)]′ = 3 · (−2sin(2x))

📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)

[3cos(2x)]′ = −6sin(2x)

a הוא מספר קבוע, ולכן הנגזרת שלו היא 0.

📐 נגזרת של קבוע

f′(x) = −6sin(2x)

משווים את הנגזרת ל־0:

📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)

[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)

📐 נגזרת של קבוע

הנגזרת של מספר קבוע (גם של פרמטר) היא 0

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

משווים את הנגזרת ל־0:

−6sin(2x) = 0

📐 נקודת קיצון

sin(2x) = 0

הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0. לפי הנוסחה יש שתי משפחות של פתרונות:

2x = 0 + 2πk = 2πk

📐 פתרון המשוואה sin x = sin t

2x = π − 0 + 2πk = π + 2πk

📐 נקודת קיצון

בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

📐 פתרון המשוואה sin x = sin t

x = t + 2πk
x = π − t + 2πk

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

2x = π − 0 + 2πk = π + 2πk

בשתי המשפחות יחד, 2x הוא כפולה שלמה של π :

2x = πk

מחלקים ב־2:

x = πk2

מחפשים פתרונות בתחום −π ≤ x ≤ π . נציב k = −2 , −1 , 0 , 1 , 2 :

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

מחפשים פתרונות בתחום −π ≤ x ≤ π . נציב k = −2 , −1 , 0 , 1 , 2 :

x = −π , x = −π2 , x = 0

x = π2 , x = π

עבור k = 3 או k = −3 יוצא x = ±3π2 – מחוץ לתחום. כל הנקודות האלה הן בתוך התחום או על קצותיו.

קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את הנקודות, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(−3π4) = −6sin(−3π2) = −6 < 0

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

f′(−3π4) = −6sin(−3π2) = −6 < 0

f′(−π4) = −6sin(−π2) = 6 > 0

f′(π4) = −6sin(π2) = −6 < 0

f′(3π4) = −6sin(3π2) = 6 > 0

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:

f(x) = 3cos(2 · x) − a

נציב x = 0 :

f(0) = 3cos(2 · 0) − a

f(0) = 3 · 1 − a = 3 − a

נציב x = π :

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

נציב x = π :

f(π) = 3cos(2 · π) − a

f(π) = 3cos(2π) − a = 3 − a

נציב x = −π :

f(−π) = 3cos(2 · (−π)) − a

cos(−2π) = cos(2π) = 1

📐 זווית נגדית

cos(−x) = cos x

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

cos(−2π) = cos(2π) = 1

📐 זווית נגדית

f(−π) = 3 · 1 − a = 3 − a

נציב x = π2 :

f(π2) = 3cos(2 · π2) − a

f(π2) = 3cos π − a = −3 − a

נציב x = −π2 :

📐 זווית נגדית

cos(−x) = cos x

סעיף א – נקודות קיצון · המשך

נציב x = −π2 :

f(−π2) = 3cos(2 · (−π2)) − a

cos(−π) = cos π = −1

📐 זווית נגדית

f(−π2) = 3 · (−1) − a = −3 − a

✅ פתרון סופי:
מקסימום: (0 , 3 − a)
מינימום: (−π2 , −3 − a) , (π2 , −3 − a)
מקסימום קצה: (−π , 3 − a) , (π , 3 − a)

📐 זווית נגדית

cos(−x) = cos x

סעיף ב – מציאת a

מסעיף א, נקודות המינימום הן (−π2 , −3 − a) ו־(π2 , −3 − a) . לשתיהן אותו שיעור y , ולכן מספיק להציב אחת מהן.

נקודה נמצאת על ישר כאשר השיעורים שלה מקיימים את משוואת הישר. נכתוב את משוואת הישר:

y = a − 11

נציב y = −3 − a :

−3 − a = a − 11

−a − a = −11 + 3

סעיף ב – מציאת a · המשך

−a − a = −11 + 3

−2a = −8

a = 4

✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ג – סקיצה

נציב a = 4 בשיעורי הנקודות שמצאנו בסעיף א:

3 − a = 3 − 4 = −1

−3 − a = −3 − 4 = −7

מקסימום: (−π , −1) , (0 , −1) , (π , −1) ; מינימום: (−π2 , −7) , (π2 , −7) .

נקודת החיתוך עם ציר y היא נקודת המקסימום (0 , −1) .

הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא −1 , כלומר כל הגרף מתחת לציר x – אין נקודות חיתוך עם ציר x .

סעיף ג – סקיצה · המשך

הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא −1 , כלומר כל הגרף מתחת לציר x – אין נקודות חיתוך עם ציר x .

מסמנים את הנקודות ומחברים לפי העלייה והירידה מסעיף א:

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – שטח

נציב a = 4 במשוואת הישר:

y = a − 11 = 4 − 11 = −7

הישר y = −7 עובר דרך שתי נקודות המינימום (−π2 , −7) ו־(π2 , −7) , ומשיק לגרף בהן. בין שתי הנקודות האלה הגרף נמצא מעל הישר, ושם נוצר השטח:

השטח הוא בין x = −π2 לבין x = π2 . הגרף f(x) הוא העליון, והישר הוא התחתון:

השטח הוא האינטגרל של ההפרש בין הגרף העליון לתחתון.

📐 שטח בין שני גרפים

S = ∫ba[f(x) − g(x)] dx
f(x) – הגרף העליון , g(x) – הגרף התחתון

סעיף ד – שטח · המשך

השטח הוא האינטגרל של ההפרש בין הגרף העליון לתחתון.

📐 שטח בין שני גרפים

ההפרש בין הגרף העליון לישר:

f(x) − (−7) = 3cos(2x) + 3

S = ∫π2−π2(3cos(2x) + 3) dx

פונקציה קדומה של 3cos(2x) + 3 :

📐 פונקציה קדומה

נקרא לפונקציה הקדומה G(x) :

📐 שטח בין שני גרפים

S = ∫ba[f(x) − g(x)] dx
f(x) – הגרף העליון , g(x) – הגרף התחתון

📐 פונקציה קדומה

∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C
∫k dx = kx + C

סעיף ד – שטח · המשך

נקרא לפונקציה הקדומה G(x) :

G(x) = 32sin(2x) + 3x

S = G(π2) − G(−π2)

נציב x = π2 (הגבול העליון):

G(π2) = 32sin(2·π2) + 3·π2

G(π2) = 32sin π + 3π2 = 3π2

סעיף ד – שטח · המשך

G(π2) = 32sin π + 3π2 = 3π2

נציב x = −π2 (הגבול התחתון):

G(−π2) = 32sin(−π) + 3·(−π2)

G(−π2) = 0 − 3π2 = −3π2

השטח = הגבול העליון פחות הגבול התחתון:

S = 3π2 − (−3π2)

סעיף ד – שטח · המשך

S = 3π2 − (−3π2)

S = 3π2 + 3π2 = 3π ≈ 9.42

✅ פתרון סופי: S = 3π ≈ 9.42

📌 סיכום התשובות

סעיף א

מקס. (0 , 3 − a) , מינ. (±π2 , −3 − a) , מקס. קצה (±π , 3 − a)

סעיף ב

a = 4

סעיף ג

סקיצה

סעיף ד

S = 3π ≈ 9.42

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא